Witam,
Celem wpisu jest zebranie możliwie największej ilości pytań z egzaminu ustnego I roku informatyki ze wstępu do algebry liniowej i geometrii u profesora UAM dr hab. Kazimierza Wiertelaka.
Wpisy są podzielone na zestawy w których występowały (stąd nieliczna powtórzenia poszczególnych pytań)
Pytania, sugestie i poprawki bardzo proszę podsyłać na e-mail, gg (dział kontakt), lub umieszczać bezpośrednio w komentarzach.
____________________________________________________________________________
Zestaw 1
- Podstawowe struktury algebraiczne i ich przykłady.
- Wykazać związek miedzy wymiarem przestrzeni V, obrazem imF (dla x należących do V: F od x = 0), kerF (wszystkie x dla których F od x jest równe 0) gdy F jest przekształceniem liniowym.
- Nierówność trójkąta.
Zestaw 2
- Pierścień wielomianów (o algorytmie Euklidesa i dzieleniu modulo)
- Rząd macierzy i twierdzenie o rzędzie macierzy
- Nierówność Schwarza.
Zestaw 3
- Jakie warunki musi spełniać skończony układ wektorów, aby był bazą przestrzeni?
- Jaki jest związek między macierzami przejścia przekształcenia liniowego w różnych bazach?
- Jaką własność ma układ parami ortogonalnych wektorów?
Zestaw 4
- Algorytm Euklidesa
- Zależność miedzy współrzędnymi wektorów miedzy bazami w tej samej przestrzeni
- Przestrzenie euklidesowe i ich przykłady
Zestaw 5
- Twierdzenie dotyczące wektorów zależnych liniowo.
- Macierz złożenia przekształceń liniowych.
- Funkcjonał kwadratowy dodatnio określony.
Zestaw 6
- Wyznacznik – definicja, własności.
- Wektory własne – definicja (”i coś dalej…”)
- Funkcjonał kwadratowy i baza kanoniczna.
Zestaw 7
- Przestrzeń macierzy i jej wymiar
- Kiedy endomorfizm jest izomorfizmem.
- Nierówność Schwarza.
Zestaw 8
- Twierdzenie Steinitza i jego zastosowania.
- Macierz funkcjonału dwuliniowego i jakie są zależności miedzy macierzami w rożnych bazach.
- Przestrzeń ilorazowa i jej wymiar.
Zestaw 9
- Twierdzenie o wymiarze podprzestrzeni.
- Przekształcenia liniowe i ich wymiar
- Przestrzenie euklidesowe i ich przykłady
Zestaw 10
- Funkcjonał kwadratowy
- Przestrzeń ilorazowa i jej wymiar
- Twierdzenie dotyczące macierzy odwrotnej
Zestaw 11
- Różne sposoby zapisu układu równań liniowych
- Wektor własny: definicja + własności
- Nierówność trójkąta
Zestaw 12
- Jakie kryteria musi spełniać zbiór wektorów żeby był bazą przestrzeni liniowej? (3 warunki)
- (”równanie, wzór, postać”) macierzy endomorfizmu
w różnych bazach.
- Co tworzy zbiór parami ortogonalnych wektorów nie zawierający wektora zerowego?
(+ dodatkowe pytania “pomocnicze”)
Zestaw 13
- Twierdzenie Cauchy’ego
- Związek miedzy macierzami przejścia w różnych przestrzeniach (”albo i bazach…”)
- Funkcjonał kwadratowy: wzór (”i coś tam jeszcze”)
Zestaw 14
- Twierdzenie Kroneckera-Capellego
- Zapis przekształcenia linowego w postaci (”coś tam”) na kolumnach.
- Baza sprzężona do bazy o skończonym wymiarze.
Zestaw 15
- Algorytm Euklidesa i przykłady jego zastosowania
- Macierz endomorfizmu którego generatorami są wektory własne (”czy jakoś tak”)
- Przestrzenie euklidesowe i ich przykłady.
Zestaw 16
- Przestrzeń macierzy i jej wymiar
- Współrzędne funkcjonału i przestrzenie sprzężone (jakoś tak…)
- Funkcjonał kwadratowy określony dodatnio.
Na egzaminie zestawy mogą się powtarzać!
Pamiętajcie żeby zabrać kilka kartek i coś do pisania.
