Informatyka studia dzienne - WMI, WMID, UAM, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu » 2008 » listopad

zad 5

Posted by M in Informacje, ... | 11.03.2008 - 02:56

$f(x) = -f(x+\Pi)$

co znaczy tyle że jak do argumentu f() dodamy Pi to wychodzi to samo, ale z przeciwnym znakiem

standardowy wzór na współczynnik:

$c_n=\frac1{2\Pi} \ ( \int_{-\Pi}^\Pi \ e^{-inx} dx )$

standardowo rozbijamy na dwie połówki:

$c_n= \frac1{2\Pi} \ (\int_{-\Pi}^0 f(x)\ e^{-inx} dx + \int_0^\Pi f(x) \ e^{-inx} dx)$

zmieniamy granice całkowania lewej całki:

$t=x+\Pi \ \ czyli \ \ x=t-\Pi$

$dt=dx$

$c_n=\frac1{2\Pi} \ ( \int_0^\Pi f(t-\Pi) \ e^{-in(t-\Pi)}dt \ + \ \int_0^\Pi f(x) e^{-inx}dx)$

stosujemy zależność z lini 1, czyli do argumentu dodajemy Pi i mamy to samo ale z minusem

$c_n=\frac1{2\Pi} \ ( \int_0^\Pi -f(t) \ e^{-in(t-\Pi)}dt \ + \ \int_0^\Pi f(x) e^{-inx} dx)$

zmieniamy granicę całkowania $x=t \ \ dx=dt$

łączymy całki i wyciągamy conieco przed nawias:

$c_n=\frac1{2\Pi}(\int_o^\Pi f(x)e^{-inx}(-e^{in\Pi} + 1)dx)$

mamy wzór:

$e^{ix}=\cos x + i \sin x$

$e^{in\Pi} = \cos (n\Pi) + i \sin (n\Pi)$

dla n=2k

$e^{i2k\Pi} = \cos (2k\Pi) + \sin (2k\Pi) = 1 + 0 = 1$

wstawiamy to do naszego wzoru na $c_n$

$c_{2k}= \frac1{2\Pi} (\int_0^\Pi f(x) e^{-inx} (-1 \ + \ 1) dx )$

$c_2k=0$