Informatyka studia dzienne - WMI, WMID, UAM, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

11:C-ALI-1/071218/0

Posted by fragos in Ćwiczenia - gr. 11,... | 12.18.2007 - 15:30

Do tych ćwiczeń potrzebne są materiały zawierające treści zadań dostępne na stronie http://www.staff.amu.edu.pl/~rzonsol/.
Są to materiały numer 8 pt. “Przekształcenia liniowe, macierze przejścia i wartości własne”
______________________________________________________________________

Zadanie 1.
a) $f(x,y)=(3x+4y+5x-y)$ $f:R^{2}\rightarrow R^{2}$

$a=(x_{1},y_{1})$
$b=(x_{2},y_{2})$

(1)

$\varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{n})+\varphi (x_{2},y_{2}$

$\varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(3(x_{1}+x_{2})+4(y_{1}+Y_{2})$

$S(x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2})=(3x_{1}+3x_{2}+4y_{1}+4y{2},5x_{1}+5x_{2}-y_{1}-y_{2})$

$\varphi (x_{1},y_{1})=(3x_{1}+4y_{1},5x_{1}-y_{1})$

$\varphi (x_{2},y_{2})=(3x_{2}+4y_{2},5x_{2}-y_{2}$

$\varphi (x_{1},y_{1})=\varphi (x_{2},y_{2})=(3x_{1}+3x_{2}+4x_{1}+4x_{2},5x_{1}+5x_{2}-y_{1}-y_{2})$

(2)

$\varphi (\alpha (x,y))=\alpha (x,y)$

$\varphi (\alpha (x,y))=\varphi (\alpha x,\alpha y)=(3\alpha x+4xy,5\alpha y-\alpha y)$

$\alpha \varphi (x,y)=\alpha (3x+4y,5x-y)=(\alpha (3x+4y),\alpha (5x-4))$

L=P

$\varphi :R[x]\rightarrow R[x],\ (\varphi (\varphi))=\varphi$

$A=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\mbox{…} +a_{1}X+a_{0}$

$B=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\mbox{ … }+b_{n}X+b_{0}$

$n\geq m$

(1)

$\varphi (A+b)=\varphi (A)+\varphi (B)$

$\varphi (A+B) = [(a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\mbox{...}+(a_{n}+b_{m}*X^{m}+(a_{m-1}b_{m-1})X^{M-1}+\mbox{...}+(a+{1}+b_{1})X+(a_{0}+b_{0}\'=na_{n}X^[n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\mbox{...}+m(a_{m}+b_{m})X^{m-1}+(m-1)(a_{m-1}+b_{m-1})X^{m-2}+\mbox{...}+(a_{1}+b_{1})=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+m_{m}x^{m-1}+\mbox{...}+a_{1+m}b_{m}X^{m-1}+\mbox{...}+b_{1}=(a_{n}X^[n}+\mbox{...}+a_{m}X^{n}+..+a_{1}X+a_{0})'+(b_{m}X^{m}+\mbox{...}+b_{1}X=b_{0})'=\varphi (A)+\varphi (B)$

(2)

$\varphi (\alpha *A)=\alpha\varphi(A)$

$\varphi (\alpha *A)=[\alpha (a_{n}X^{n}+a_{n-a}X^{n}+\mbox{...}+a_{1}X+a_{0})]‘=[\alpha s_{n}X^{n}+\alpha a_{n-a}X^{n-1}+\mbox{...}+\alpha a_{1}X+\alpha a_{0}]‘=n\alpha a_{n}X^{n-1}+(n-1)\alpha a_{n-1}X^{n-2}+\mbox{…}+\alpha a_{1}$

$\alpha \varphi (A)=\alpha (a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\mbox{…}+A_{1}X-A_{0})’=\alpha (na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\mbox{…}+a_{1})=\alpha na_{n}X^{n-1}+\alpha (n-1)X^{n-2}+\mbox{…}+\alpha a_{1}$

$\varphi :R^{n}\rightarrow R^{n}$

$e_{1} \ \ \ \ \ \ f_{1}$
\mbox{…} \mbox{…}
$e_{n} \ \ \ \ \ \ f_{n}$

$\varphi (e_{1})=\alpha _{11}f_{1}+\mbox{…}\alpha _{1m}f_{m}$

$\varphi (e_{2})=\alpha _{21}f_{1}+\mbox{…}\alpha _{2m}f_{m}$
\mbox{…}
$\varphi (e_{n})=\alpha _{n1}f_{1}+\mbox{…}\alpha _{nm}f_{m}$

$\left[\begin{array}{cccc}\alpha _{11}&\alpha _{21}&\mbox{...}&\alpha _{n1}\\\mbox{...}&\mbox{...}&\mbox{...}&\mbox{...}\\\alpha _{1m}&\alpha _{2m}&\mbox{...}&\alpha _{nm}\end{array}\right]$

Zadanie 2
(a) $E={(2,1),(4,7)}$

$E={(1,1),(0,1)}$

$f(2,1)=(8-1,14-3)$

$(7,11)=a(1,1)+b(a,1)$

$a=7$

$a+b=11$

$b=4$

$f(4,7)=(16-7,28-21)=(9,7)$

$(9,16)=a(1,1)+b(0,1)$

$a=9$

$a+b=16$

$b=9$

$\left[\begin{array}{cc}7&9\\4&7\end{array}\right]$

b) Z tym podpunktem na zajęciach był mały problem, mianowicie w treści zadania trzeba było przekreślić jedna rzecz. Wspólnymi siłami w ławce ustaliliśmy że chodziło o skreslenie $x+2y$ z drugiego nawiasu za pierwszym przecinkiem