1:W-LOG-1/071003/0

Posted by M in Podstawy logiki i te... | 10.03.2007 - 08:15

Zajęcia prowadził: dr hab. Maciej Kandulski

 

Literatura
Zdanie w sensie logiki
Klasyczna definicja prawdy
Wnioskowanie
Reguła odrywania (Modus Poneus)

 

KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ

Spójniki
Symbole alfabetu języka rachunku zdań
Zmienne zdaniowe
Zbiór formuł jezyka rachunku zdań
Podstawianie

 


____________________________________________________________

Dyżur: wtorek 12:00-13:00, poniedziałek ; B2-30
- egzamin pisemny będzie, na ćwiczeniach kolokwia
- można mieć 3 nieusprawiedliwione nieobecności na ćwiczeniach
____________________________________________________________

Literatura:

  1. J. Musielak: „Wstęp do matematyki”;
  2. Mordehai Ben-Ari: „Logika matematyczna w informatyce”;
  3. H. Rasiowa: „Wstęp do matematyki współczesnej”
  4. W. Guzicki: „Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii zbiorów”;
  5. W. Guzicki: „Wstęp do matematyki: zbiór zadań”;
  6. R. Murawski, K. Świrydowicz: „Podstawy logiki i teorii mnogości”
  7. R. Murawski, K. Świrydowicz: „Wstęp do teorii mnogości”;
  8. A. Wojciechowska: „Elementy logiki i teorii mnogości”;
  9. W. Marek, J. Onyszkiewicz: „Elementy logiki i teorii mnogości”;
  10. I. Łavrov, Ł. Maksimova: „Zadania z teorii mnogości, logiki matematycznej i teorii algorytmów”;
  11. K. Trzęsicki: „Logika i teoria mnogości: ujęcie systematyczno-historyczne”;

____________________________________________________________

– teoria mnogości = teoria zbiorów

- cel nauki: opis świata; motyw: poznać świat

- nauka zawsze w jakimś języku (przekaz)

- prawda (T) i fałsz (F) – wartości logiczne, cechy zdania

Def.
Zdanie w sensie logik – zdanie przenoszące informacje, które mogą być T lub F

- istnieją też logiki więcejwartościowe, np. prawda – fałsz – nie wiem

- rozstrzyganie T / F nas nie interesuje

- Alfred Tarski – ważny polski matematyk

Def.
Klasyczna definicja prawdy
Prawda jest zgodnością tego co się mówi (zdania) z tym o czym się mówi (świat)

– łac. Vertias est adequatie rei et intellectus
- autor: Arystoteles (384 – 322), uczeń Platona, ucznia Sokratesa, którego żona jest symbolem kobiety zrzędliwej i marudnej…

- świat mentalny matematyków – nie ma go w materialnej rzeczywistości – nikt nie lubi matematyków

- obiekty matematyczne doskonałego świata poznajemy po jego cechach (Platon)
np. uczymy się liczyć na jabłuszkach…

- do wiedzy dochodzimy kolekcjonując fakty, powtarzając doświadczenia

Def.
Wnioskowanie – czynność mentalna: uznanie za T pewnych zdań, w oparciu o wiedzę, że T są inne zdania

- logika, to nauka formalna – interesuje się formą, a nie treścią

- zadaniem logiki jest dostarczanie różnym dziedzinom nauki, schematów wnioskowania (Arystoteles)

Reguła odrywania (Modus Poneus)
\frac{Dane \ (T) \ wymienione \ po \ przecinku \ lub \ jedne \ pod \ drugimi}{Wniosek}

\frac{A \to B, A}{B} Wiemy, że jeżeli A, to B i wiemy, że A ,
a więc możemy logicznie wywnioskować, że B

np. \frac{A \wedge B}{A}

– zdania mogą mieć tę samą treść, ale inną formę (np. p, ┐┐p)
- zdania mogą mieć tę samą formę, ale inną treść (np. 2>0, 3>0)

____________________________________________________________

- do poł. XIX w. Logika była uprawiana przez filozofów, później przez informatyków

Dowcip matematyczny:

Idzie sobie facet w stanie wskazującym, spotyka matematyka i mówi:
- Czy Pan wie, że przez 3 dowolnie położone punkty można przeprowadzić prostą?
- Ależ to niemożliwe!
- Możliwe, tylko prosta musi być odpowiednio gruba…

Matematycy zazwyczaj się z niego śmieją, a filozofowie nie.

- George Boole (1815 – 1864): algebraizacja logiki -logika jest podobna do algebry

- Gofllob Frege (1848 – 1925): w 1879 nadał logice postać aksjomatyczną

- Aksjomat – pewnik – twierdzenie teorii dedukcyjnej przyjęte bez dowodów i stanowiące podstawę innych twierdzeń

- System aksjomatyczny – system obejmujący układ aksjomatów i ich logicznych konsekfencji

- Bertrand Russel (1872 – 1970): „Principia Mathematica”

____________________________________________________________

- postacie przekazu logiki:
a) nauka formalna
b) osobna dyscyplina nauki

- logicyzm – pogląd, że cała matematyka sprowadzalna jest do logiki

- czytanka: Murawski 147 – 151 (nic interesującego – rys historyczny)

 

____________________________________________________________

KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ

- w języku rachunku zdań używamy 5 spójników z języka naturalnego:

nieprawda że negacja \neg , \ \prime , \ -, \ \sim
i koniunkcja \wedge \ \neg , \ & , \ \cdot
lub alternatywa \vee , \ +
jeżeli…, to… implikacja \rightarrow , \ \Rightarrow , \ \subset
wtedy i tylko wtedy gdy (wgdy) równoważność \leftrightarrow , \ \Leftrightarrow , \ \equiv

- spójniki mają łączyć zdania, a nie nazwy

- argumenty – zdania, które łączy spójnik
- argumentowość spójnika – ile zdań łączy spójnik (┐- 1,pozostałe – 2)

* będziemy oznaczać wszystkie spójniki dwuargumentowe

- argumenty \wedge nazywamy czynnikami
- argumenty \vee nazywamy składnikami

- ekstensjonalny (spójnik) – sam spójnik wyznacza wartość logiczną
- intensjonalny (spójnik) – wart. log. zależy od treści zdań

- zmienne zdaniowe (różne kaligraficzne warianty na to samo):

p_1 , \ p_2 , \ p_3 , \ \ldots \\ p , \ q , \ r , \ \ldots \\ p_I , \ p_{II} , \ p_{III} , \ \ldots

Def.
Symbole alfabetu języka rachunku zdań:

  1. \neg , \ \wedge , \ \vee , \ \rightarrow , \ \leftrightarrow
  2. p, q, r, …
  3. (, )

Zmienne zdaniowe – reprezentują zdania proste w sensie logiki

Symbol: Var_{RZ}

- zdanie proste w sensie logiki – zd. nie zawierające spójnika logicznego

Def.
Zbiur formół języka rachunku zdań

  1. każda zmienna zdaniowa jest formułą języka rachunku zdań
  2. jeżeli A i B są formułami j. r. zd. to ┐(A) , (A)*(B), też są formułami j. r. zd.
  3. nie ma żadnych innych formuł j. r. zd.
    Czyli formułami są zmienne i wszystko co powstaje przez ich zespójnikowanie
    A, B – zmienne metajęzykowe
    Symbol: For_{RZ}

- nazwa formuły (całej) pochodzi od spójnika, który wiąże najsłabiej (najbardziej ogólnego)

Umowy dotyczące zapisu:

  1. pomijamy nawiasy przed podwójnymi negacjami
  2. pomijamy nawiasy wokół zmiennych zdaniowych
  3. siła wiązań (malejąco):
  • \neg
  • \wedge , \ \vee
  • \rightarrow , \ \leftrightarrow

A ( p_1 , \ p_2 , \ldots , \ p_n )
- wszystkie zmienne użyte w formule A, znajdują się w nawiasie
- nie wszystkie zmienne w nawiasie muszą występować w A
np. p \rightarrow q \in For_{RZ} (p, \ q, \ r, \ s)

Podstawianie – zastępowanie zmiennych zdaniowych
Niech
A \in For_{RZ} (p_1, \ p_2, \ \ldots , \ p_n) \ \ \ \ B_1, \ B_2, \ \ldots , \ B_n \\ \\ A[p_1/B_1 , \ p_2/B_2 , \ \ldots , \ p_n/B_n]
wynik jednoczesnego zastąpienia w A każdego wystąpienia zmiennej p_i przez B_i

( p\wedge q \rightarrow \ r )[ p/r \vee q, \ q/q ,\ r/ \neg r] \ = \ (r \vee q) \ \wedge \ (q) \ \rightarrow \ (\neg r) \ = \ (r \vee q) \ \wedge \ q\ \rightarrow \ \neg r

______________________________________________________________________

Błędy, pytania, uwagi zgłaszaj na
m@wmid.amu.edu.pl
(w temacie podaj sygnaturę strony)

Wydrukuj ten post Wydrukuj ten post


Brak komentarzy on "1:W-LOG-1/071003/0" »

Brak komentarzy.

Kanał RSS z komentarzami do tego wpisu.
TrackBack URL

Dodaj komentarz

Preview: