Informatyka studia dzienne – WMI, WMID, UAM, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

11:C-ALI-1/071002/0

Posted by M in Ćwiczenia - gr. 11,... | 10.02.2007 - 15:30

Podstawowe pojecia i definicje
Działanie łączne
Działanie przemienne
Element neutralny e
Element odwrotny (przeciwny)
Spr. łączność działania
Spr. przmienność działania
łączność
przemienność

Zajęcia prowadził mgr Piotr Rzonsowski

______________________________________________________________________

- rzonsol@amu.edu.pl

- B2-23

- contact.dir (dysk F) – zadania

- 2 kolokwia x 50 p. – zaliczenie od 60%

______________________________________________________________________

- $\mathbb{N}$ – zb. l. naturalnych
- $\mathbb{Z}$ – zb. l. całkowitych
- $\mathbb{Q}$ – zb. l. wymiernych
- $\mathbb{R}$ – zb. l. rzeczywistych
- $\mathbb{C}$ – zb. l. zespolonych

- $\forall , \ \bigwedge$ – kwantyfikator ogólny: „dla każdego„
- $\exists , \ \bigvee$ – kwantyfikator szczegółowy: „istnieje„
- : – „takie, że„

______________________________________________________________________

Def. działania – porównaj: 1:W-ALI-1/071004/0

Działanie wewnętrzne - takie działanie, którego argumenty (dane wejściowe) jak i wynik należą do tego samego zbioru
- inaczej o działaniu wewnętrznym można powiedzieć: działanie w zbiorze niepustym jakimśtam
- np. dodawanie w zbiorze liczb naturalnych jest działaniem wewnętrznym, a odejmowanie nie

______________________________________________________________________

Działanie łączne
$\forall\limits_{a, b, c \in G} \ \ \ (a\oplus b)\oplus c \ = \ a\oplus (b \oplus c)$

- można dowolnie powstawiać nawiasy, a wynik wyjdzie taki sam
Działanie przemienne
$\forall\limits_{a,b \in G} \ \ \ a\oplus b \ =\ b \oplus a$

- nie ważna kolejność elementów w działaniu
Element neutralny e
$\exists\limits_{ e \in G}\ :\ \forall\limits_{a \in G} \ a\oplus e\ =\ e\oplus a\ =\ a$

- element neutralny nie wpływa na wartość działania
- dla danego działania istnieje conajwyżej jeden element neutralny
- napisanie kwantyfikatorów w odwrotnej kolejności jest błędem,
gdyż albowiem istnieje jeden element neutralny dla wszystkich elementów ze zb. G,
a nie, że dla każdego elementu ze zb. G istnieje jakiś element neutralny
- np.
dla dodawania e = 0
dla mnożenia e = 1
Element odwrotny (przeciwny)
- nazwa w zależności od działania:
dla mnożenia: odwrotny
dla dodawania: przeciwny

$\forall\limits_{a\in G} \ \ \exists\limits_{b \in G} \ :\ a\oplus b \ =\ b \oplus a\ =\ e$

- jeżeli działanie będzie z jakiegoś elementu i elementu do niego przeciwnego, to wynikiem będzie zawsze element neutralny
- istnieje dokładnie jeden element przeciwny do danego elementu

______________________________________________________________________

grupa – zb. elementów i działanie spełniające war. 1., 3., 4.
- te trzy warunki nazywamy aksjomatami teorii grup lub aksjomatani grupy

grupa abelowa (przemienna) – grupa spełniająca dodatkowo war. 2.

(porównaj1:W-ALI-1/071004/0)

______________________________________________________________________

Zadanie 4 (I kartka)

Zbadać własnośći działań:

a) $a\ast b\ = \ a^2 + b -1\ \ , a,b\in \mathbb{Z}$

Dla łatwiejszego zrozumienia zdefiniujmy działanie jako:

$x\ast y\ = \ x^2 + y -1\ \ , x,y\in \mathbb{Z}$

Spr. łączność działania

Z def. $\forall\limits_{a,b,c\in\mathbb{Z}} (a\ast b)\ast c \ = \ a \ast (b \ast c)$

$L\ =\ ( \underbrace{a}_{x}\ast \underbrace{b}_{y} )\ast c \ = \ \underbrace{(a^2 + b – 1)}_{x \ast y} \ast c \ = \ \underbrace{(a^2 + b – 1)}_{x} \ast \underbrace{c}_{y} \ =\ \underbrace{(a^2+b-1)^2+c-1}_{x \ast y} \ \Rightarrow a^4$
$P \ = \ a \ast (b\ast c)\ =\ a \ast (b^2 + c – 1) = a^2+(b^2 + c-1)-1 \ = \ a^2+b^2+c-2 \ \Rightarrow a^2$
$L\ \neq \ P$ – działanie $\ast$ nie jest łączne

Spr. przmienność działania

Z def. $\forall\limits_{a,b\in\mathbb{Z}} a\ast b \ = \ b \ast a$

$L\ =\ a \ast b \ = \ a^2 + b -1$
$P \ =\ b \ast a \ = \ b^2 + a – 1$
$L \ \neq \ P$ – działanie $\ast$ nie jest przemienne

b) $a\oplus b \ = \ \frac{a+b}{2} \ \ ,a,b\in \mathbb{Q}$

łączność

Z def. $\forall\limits_{a,b,c\in\mathbb{Q}} (a\ast b)\ast c \ = \ a \ast (b \ast c)$

$L \ = \ ( a \oplus b)\oplus c \ = \ \frac{a+b}{2} \oplus c \ = \ \frac{\frac{a+b}{2} + c}{2} \ = \ \frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}$
$P \ = \ a \oplus (b \oplus c) \ = \ a \oplus\frac{b+c}{2} \ = \ \frac{a+\frac{b+c}{2}}{2} \ = \ \frac{a}{2}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}$
$L \ \neq \ P$ – działanie $\oplus$ nie jest łączne

przemienność

Z def. $\forall\limits_{a,b\in\mathbb{Q}} a\ast b \ = \ b \ast a$

$L \ = a \oplus b \ = \ \frac{a + b}{2}$
$P \ = b \oplus a \ = \ \frac{b + a}{2} \ = \ \frac{a + b}{2}$
$L \ = \ P$ – działanie $\oplus$ jest przemienne

______________________________________________________________________

Zadanie 2 (I)

Sprawdzić, czy działanie $a \oplus b \ = \ a^2 – b^2$ jest wewnętrzne w zbiorach:

a) A = {0} – dz. jest wewn.

b) A = {0,1}

- nie jest dz. wewn., bo $0^2 – 1^2 \ = \ -1 \not\in A$

c) A = {-1,0,1}

b\a	-1	0	1
-1	0	-1	0
0	1	0	1
1	0	-1	0

tabelka działania

działanie jest wewn.

______________________________________________________________________

$\mathbb{Z}_5 \ = \ \frac{\mathbb{Z}}{5} \ = \ \lbrace0,1,2,3,4\rbrace$

$\mathbb{Z}_n \ = \ \lbrace0,1,2,3,4, \ldots ,n-1\rbrace$

- zbiór n-elementowy
- zbiór reszt z dzielenia

______________________________________________________________________

$+_n$ – dodawanie w zbiorze n-ementowym, dodawanie modulo
wykonaj działanie, a następnie mod n

$1 \ +_5 \ 4 \ = \ 0$

$2 \ +_5 \ 4 \ = \ 1$

;Zadanie 5 (I)

Ułóż tabelkę działania $\mathbb{Z}_5$ dla działań $+_5 , \ \cdot _5$

Dodawanie

Mnożenie

	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

______________________________________________________________________

Co można odczytać z tabelki działania?

gdy tabelka jest symetryczna względem przekątnej \ – to działanie jest przemienne
gdy w każdym wierszu i w każdej kolumnie występuje element neutralny, to dla działania istnieje element neutralny

______________________________________________________________________

Zadanie 7 (I)

Wykazać, że izometrie własne trójkąta równobocznego tworzą grupę. Czy jest to grupa abelowa?

- izometrie własne – wszystkie przekształcenia, po zastosowaniu których obiekt wygląda tak samo jak przed zastosowaniem

- do dyspozycji mamy: symetrie i obroty

G = {id, sym, 120°, 240°, sym 120°, sym 240°}
gdzie:
- id – brak przekształcenia
- sym – symetria względem osi OX
- sym 120° – przekształcenie powstałe przez zastosowanie sym, a następnie 120°

- wszystkie inne przekształcenia można uzyskać za pomocą powyższych

1\2	id	sym	120°	240°	sym 120°	sym 240°
id	id	sym	120°	240°	sym 120°	sym 240°
sym	sym	id	sym 120°	sym 240°	120	240
120°	120°	sym 240	240°	id	sym	sym 120°
240°	240°	sym 120°	id	120°	sym 240°	sym
sym 120°	sym 120°	240°	sym 240°	sym	id	120°
sym 240°	sym 240°	120°	sym	sym 120°	240°	id

- istnieje element neutralny (id)
- istnieje element odwrotny (wszystko można zamienić na id)
- bardzo prawdopodobne, że jest łączne (należałoby sprawdzić…)
Jest grupą

- nie jest przemienne (nie jest symetryczne ukośnie)
Jest grupą nieabelową

______________________________________________________________________

Uzupełnienia w 1:W-ALI-1/0710 04/0

______________________________________________________________________

Błędy, pytania, uwagi zgłaszaj na
m@wmid.amu.edu.pl
(w temacie podaj sygnaturę strony)

Wydrukuj ten post

1 komentarz on "11:C-ALI-1/071002/0" »

M
Posted on 18/07/2009

„Jak sprawdzić czy istnieje e. neutralny i e. odwrotny w zadaniu czwartym?”
def. elementu neutralnego e:
$\exists{e} \forall{a} \ \ a \oplus e = a = e \oplus a$
(jeśli działanie jest przemienne, ostatnia część jest niepotrzebna)
Definicja elementu neutralnego mówi, że spełnia on swoje własności bez względu na to jaką wartość ma drugi element, więc najlepiej pokazać, że istnieje on i ma takie własności jak zakłada definicja. Jeśli coś ma istnieć, to wystarczy to wyliczyć.
Obliczymy e. neutralny w przypadku a)
$\exists{e} \forall{a} a \ast e = a \\<br /> a \ast e = a^2 + e -1 = a \\<br /> e=1 + a – a^2$
A więc element e jest zależny od wartości a, czyli nie jest taki sam dla wszystkich wartości a, czyli nie spełnia definicji, czyli nie ma elementu neutralnego. Jeśli nie istnieje element neutralny, to nie istnieje też element odwrotny do danego elementu.
Postępując analogicznie w przykładzie b) dojdziemy do $a = e$ , czyli e jest zależny od a i element neutralny nie istnieje.