Informatyka studia dzienne - WMI, WMID, UAM, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

11:C-ALI-1/071002/0

Posted by M in Ćwiczenia - gr. 11,... | 10.02.2007 - 15:30

Podstawowe pojecia i definicje
Działanie łączne
Działanie przemienne
Element neutralny e
Element odwrotny (przeciwny)
Spr. łączność działania
Spr. przmienność działania
łączność
przemienność

Zajęcia prowadził mgr Piotr Rzonsowski

______________________________________________________________________

- rzonsol@amu.edu.pl

- B2-23

- contact.dir (dysk F) - zadania

- 2 kolokwia x 50 p. - zaliczenie od 60%

______________________________________________________________________

- $\mathbb{N}$ - zb. l. naturalnych
- $\mathbb{Z}$ - zb. l. całkowitych
- $\mathbb{Q}$ - zb. l. wymiernych
- $\mathbb{R}$ - zb. l. rzeczywistych
- $\mathbb{C}$ - zb. l. zespolonych

- $\forall , \ \bigwedge$ - kwantyfikator ogólny: “dla każdego“
- $\exists , \ \bigvee$ - kwantyfikator szczegółowy: “istnieje“
- : - “takie, że“

______________________________________________________________________

Def. działania - porównaj: 1:W-ALI-1/071004/0

Działanie wewnętrzne - takie działanie, którego argumenty (dane wejściowe) jak i wynik należą do tego samego zbioru
- inaczej o działaniu wewnętrznym można powiedzieć: działanie w zbiorze niepustym jakimśtam
- np. dodawanie w zbiorze liczb naturalnych jest działaniem wewnętrznym, a odejmowanie nie

______________________________________________________________________

Działanie łączne
$\forall\limits_{a, b, c \in G} \ \ \ (a\oplus b)\oplus c \ = \ a\oplus (b \oplus c)$

- można dowolnie powstawiać nawiasy, a wynik wyjdzie taki sam
Działanie przemienne
$\forall\limits_{a,b \in G} \ \ \ a\oplus b \ =\ b \oplus a$

- nie ważna kolejność elementów w działaniu
Element neutralny e
$\exists\limits_{ e \in G}\ :\ \forall\limits_{a \in G} \ a\oplus e\ =\ e\oplus a\ =\ a$

- element neutralny nie wpływa na wartość działania
- dla danego działania istnieje conajwyżej jeden element neutralny
- napisanie kwantyfikatorów w odwrotnej kolejności jest błędem,
gdyż albowiem istnieje jeden element neutralny dla wszystkich elementów ze zb. G,
a nie, że dla każdego elementu ze zb. G istnieje jakiś element neutralny
- np.
dla dodawania e = 0
dla mnożenia e = 1
Element odwrotny (przeciwny)
- nazwa w zależności od działania:
dla mnożenia: odwrotny
dla dodawania: przeciwny

$\forall\limits_{a\in G} \ \ \exists\limits_{b \in G} \ :\ a\oplus b \ =\ b \oplus a\ =\ e$

- jeżeli działanie będzie z jakiegoś elementu i elementu do niego przeciwnego, to wynikiem będzie zawsze element neutralny
- istnieje dokładnie jeden element przeciwny do danego elementu

______________________________________________________________________

grupa - zb. elementów i działanie spełniające war. 1., 3., 4.
- te trzy warunki nazywamy aksjomatami teorii grup lub aksjomatani grupy

grupa abelowa (przemienna) - grupa spełniająca dodatkowo war. 2.

(porównaj1:W-ALI-1/071004/0)

______________________________________________________________________

Zadanie 4 (I kartka)

Zbadać własnośći działań:

a) $a\ast b\ = \ a^2 + b -1\ \ , a,b\in \mathbb{Z}$

Dla łatwiejszego zrozumienia zdefiniujmy działanie jako:

$x\ast y\ = \ x^2 + y -1\ \ , x,y\in \mathbb{Z}$

Spr. łączność działania

Z def. $\forall\limits_{a,b,c\in\mathbb{Z}} (a\ast b)\ast c \ = \ a \ast (b \ast c)$

$L\ =\ ( \underbrace{a}_{x}\ast \underbrace{b}_{y} )\ast c \ = \ \underbrace{(a^2 + b - 1)}_{x \ast y} \ast c \ = \ \underbrace{(a^2 + b - 1)}_{x} \ast \underbrace{c}_{y} \ =\ \underbrace{(a^2+b-1)^2+c-1}_{x \ast y} \ \Rightarrow a^4$
$P \ = \ a \ast (b\ast c)\ =\ a \ast (b^2 + c - 1) = a^2+(b^2 + c-1)-1 \ = \ a^2+b^2+c-2 \ \Rightarrow a^2$
$L\ \neq \ P$ - działanie $\ast$ nie jest łączne

Spr. przmienność działania

Z def. $\forall\limits_{a,b\in\mathbb{Z}} a\ast b \ = \ b \ast a$

$L\ =\ a \ast b \ = \ a^2 + b -1$
$P \ =\ b \ast a \ = \ b^2 + a - 1$
$L \ \neq \ P$ - działanie $\ast$ nie jest przemienne

b) $a\oplus b \ = \ \frac{a+b}{2} \ \ ,a,b\in \mathbb{Q}$

łączność

Z def. $\forall\limits_{a,b,c\in\mathbb{Q}} (a\ast b)\ast c \ = \ a \ast (b \ast c)$

$L \ = \ ( a \oplus b)\oplus c \ = \ \frac{a+b}{2} \oplus c \ = \ \frac{\frac{a+b}{2} + c}{2} \ = \ \frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}$
$P \ = \ a \oplus (b \oplus c) \ = \ a \oplus\frac{b+c}{2} \ = \ \frac{a+\frac{b+c}{2}}{2} \ = \ \frac{a}{2}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}$
$L \ \neq \ P$ - działanie $\oplus$ nie jest łączne

przemienność

Z def. $\forall\limits_{a,b\in\mathbb{Q}} a\ast b \ = \ b \ast a$

$L \ = a \oplus b \ = \ \frac{a + b}{2}$
$P \ = b \oplus a \ = \ \frac{b + a}{2} \ = \ \frac{a + b}{2}$
$L \ = \ P$ - działanie $\oplus$ jest przemienne

______________________________________________________________________

Zadanie 2 (I)

Sprawdzić, czy działanie $a \oplus b \ = \ a^2 - b^2$ jest wewnętrzne w zbiorach:

a) A = {0} - dz. jest wewn.

b) A = {0,1}

- nie jest dz. wewn., bo $0^2 - 1^2 \ = \ -1 \not\in A$

c) A = {-1,0,1}

b\a	-1	0	1
-1	0	-1	0
0	1	0	1
1	0	-1	0

tabelka działania

działanie jest wewn.

______________________________________________________________________

$\mathbb{Z}_5 \ = \ \frac{\mathbb{Z}}{5} \ = \ \lbrace0,1,2,3,4\rbrace$

$\mathbb{Z}_n \ = \ \lbrace0,1,2,3,4, \ldots ,n-1\rbrace$

- zbiór n-elementowy
- zbiór reszt z dzielenia

______________________________________________________________________

$+_n$ - dodawanie w zbiorze n-ementowym, dodawanie modulo
wykonaj działanie, a następnie mod n

$1 \ +_5 \ 4 \ = \ 0$

$2 \ +_5 \ 4 \ = \ 1$

;Zadanie 5 (I)

Ułóż tabelkę działania $\mathbb{Z}_5$ dla działań $+_5 , \ \cdot _5$

Dodawanie

Mnożenie

	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

______________________________________________________________________

Co można odczytać z tabelki działania?

gdy tabelka jest symetryczna względem przekątnej \ - to działanie jest przemienne
gdy w każdym wierszu i w każdej kolumnie występuje element neutralny, to dla działania istnieje element neutralny

______________________________________________________________________

Zadanie 7 (I)

Wykazać, że izometrie własne trójkąta równobocznego tworzą grupę. Czy jest to grupa abelowa?

- izometrie własne - wszystkie przekształcenia, po zastosowaniu których obiekt wygląda tak samo jak przed zastosowaniem

- do dyspozycji mamy: symetrie i obroty

G = {id, sym, 120°, 240°, sym 120°, sym 240°}
gdzie:
- id - brak przekształcenia
- sym - symetria względem osi OX
- sym 120° - przekształcenie powstałe przez zastosowanie sym, a następnie 120°

- wszystkie inne przekształcenia można uzyskać za pomocą powyższych

1\2	id	sym	120°	240°	sym 120°	sym 240°
id	id	sym	120°	240°	sym 120°	sym 240°
sym	sym	id	sym 120°	sym 240°	120	240
120°	120°	sym 240	240°	id	sym	sym 120°
240°	240°	sym 120°	id	120°	sym 240°	sym
sym 120°	sym 120°	240°	sym 240°	sym	id	120°
sym 240°	sym 240°	120°	sym	sym 120°	240°	id

- istnieje element neutralny (id)
- istnieje element odwrotny (wszystko można zamienić na id)
- bardzo prawdopodobne, że jest łączne (należałoby sprawdzić…)
Jest grupą

- nie jest przemienne (nie jest symetryczne ukośnie)
Jest grupą nieabelową

______________________________________________________________________

Uzupełnienia w 1:W-ALI-1/0710 04/0

______________________________________________________________________

Błędy, pytania, uwagi zgłaszaj na
m@wmid.amu.edu.pl
(w temacie podaj sygnaturę strony)

Wydrukuj ten post